Сфероид Маклорена

Сферо́ид Макло́рена — сплюснутый сфероид, возникающий в случае вращения самогравитирующего жидкого тела с однородным распределением плотности с постоянной угловой скоростью. Сфероид назван в честь шотландского математика Колина Маклорена, предположившего такую форму Земли в 1742 году. На самом деле Земля существенно менее сплюснута, поскольку не является однородной и обладает плотным железным ядром. Сфероид Маклорена считается простейшей моделью эллипсоидальной фигуры вращения в состоянии равновесия, поскольку обладает постоянной плотностью.

Формула Маклорена

Основной источник:

Квадрат угловой скорости (в единицах [math]\displaystyle{ \pi G\rho }[/math]) для сфероида Маклорена

Для сплюснутого сфероида с большой полуосью [math]\displaystyle{ a }[/math] и малой полуосью [math]\displaystyle{ c }[/math] угловая скорость [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] задаётся формулой Маклорена

[math]\displaystyle{ \frac{\Omega^2}{\pi G\rho} = \frac{2\sqrt{1-e^2}}{e^3}(3-2e^2) \arcsin e - \frac{6}{e^2}(1-e^2), \quad e^2 = 1-\frac{c^2}{a^2}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ e }[/math] является эксцентриситетом меридионального сечения сфероида, [math]\displaystyle{ \rho }[/math] — плотность, [math]\displaystyle{ G }[/math] — гравитационная постоянная. Формула предсказывает два возможных типа фигуры равновесия при [math]\displaystyle{ \Omega\rightarrow 0 }[/math], одной из них является сфера ([math]\displaystyle{ e\rightarrow 0 }[/math]), другой является плоский сфероид ([math]\displaystyle{ e\rightarrow 1 }[/math]).

Максимальная угловая скорость возникает при эксцентриситете [math]\displaystyle{ e=0{,}92995 }[/math], значение квадрата максимальной угловой скорости равно [math]\displaystyle{ \Omega^2=0{,}449331 \pi G\rho }[/math], то есть выше этой скорости фигуры равновесия не существует. Это противоречит наблюдательным данным. Причиной противоречия может быть наличие двух нереалистичных предположений: одно состоит в однородности распределения плотности, другое — в том, что форма поверхности представляет собой простую квадрику.

Момент импульса [math]\displaystyle{ L }[/math] сфероида Маклорена задаётся выражением

[math]\displaystyle{ \frac{L}{\sqrt{GM^3\bar{a}}} = \frac{\sqrt 3}{5} \left(\frac{a}{\bar{a}}\right)^2 \sqrt{\frac{\Omega^2}{\pi G\rho}} \ , }[/math]

где [math]\displaystyle{ M = \frac{4\pi}{3}\rho a^3 \sqrt{1-e^2} }[/math] — масса сфероида, [math]\displaystyle{ \bar{a} = (a^2c)^{1/3} }[/math] — средний радиус, то есть радиус сферы такого же объёма, что и сфероид. В более простом выражении

[math]\displaystyle{ L = \frac{2}{5}M\Omega a^2. }[/math]

Кинетическая энергия сфероида

[math]\displaystyle{ K = \frac{1}{5}M\Omega^2 a^2. }[/math]

Устойчивость

Для сфероида Маклорена с эксцентриситетом более 0,812670 трёхосный эллипсоид Якоби с тем же моментом импульса обладает меньшей полной энергией. Если такой эллипсоид состоит из вязкой жидкости и не испытывает возмущений, способных нарушить симметрию вращения, то он вытянется и примет форму эллипсоида Якоби, при этом часть энергии перейдёт в тепловую форму. Для аналогичного сфероида из невязкой жидкости возмущения приведут к незатухающим колебаниям.

Сфероид Маклорена с эксцентриситетом более 0,952887 динамически неустойчив. Даже если объект состоит из невязкой жидкости и не теряет энергию, малые возмущения будут расти по экспоненциальному закону. Динамическая неустойчивость подразумевает вековую неустойчивость.